Моделирование и оптимизация систем теплоснабжения зданий с использованием возобновляемых источников тепла (тепловой насос и солнечный коллектор)

 

Часть 2. Моделирование работы грунтового коллектора теплового насоса

 

Кидрук М.И.

 

В предыдущей части данного цикла статей [1] было рассмотрено компьютерную систему моделирования теплового режима и определения теплопотерь разных по форме структуре и назначению домов. В статье описано новый подход для определения теплопотерь при отоплении дома, который базируется не на критических (пиковых), а на средних (наиболее ожидаемых) температурах холодной поры года. Такой подход очень удобно использовать для расчета мощности теплового насоса.

В этой статье описано моделирование процессов теплообмена в грунте при использовании вертикального грунтового теплообменника как источника низкопотенциального тепла для теплового насоса. Моделирование, как и ранее, реализуется на основе программного комплекса NeoHeatingPro, который с помощью генератора климатических условий [1] позволяет легко определять граничные условия для расчета теплового насоса.

Целью данной работы является разработка компьютерной программы для расчета теплового насоса и оптимизации (уменьшения) длины коллектора. Полученные результаты особенно важны, учитывая тот факт, что стоимость буровых работ по установке коллектора иногда превышает цену теплового насоса.

 Постановка задачи и принятые упрощения

Рассмотрим систему отбора низкопотенциального грунтового тепла для испарителя теплового насоса, которая представляет собой длинную U-образную трубку, уложенную в пробуренную в грунте вертикальную скважину. На рис. 1 схематически показана такая система: глубина скважины геотермального теплового насоса обозначена L₀; L₁ — глубина сезонных колебаний температуры, то есть, максимальная глубина, на которой в грунте еще ощутимы колебания, вызванные изменением температуры наружного воздуха; Т₀ — температура грунта на глубине L₁; ΔТ — разница температур, на которую на котрую нагревается рабочая жидкость в коллекторе. Следует понимать, что глубина L₁ обозначает именно отсутсвие колебаний, вызванных изменением температуры на поверхности, а не остутствие изменений в температуре грунта в целом. Ниже от L₁ температура (обознчена как Т_гр(х) на графике справа от изображения коллектора) начинает равномерно возростать, в среднем на 3 градуса каждые 100 м [2].

Похожая проблема была рассмотрена в работе [3], однако там речь шла о трубке Фильда (коакисальном теплообменнике), при этом считалось, что теплообем через стенку внутренней трубы отсутствует, что значительно упрощало математическое описание процесса. Кроме этого, в данной работе не было предоставлено никаких рекомендаций относительного практического определния граничных условий, а также не представлено результатов расчета - только методика решения приведенных уравнений численными методами.

В нашем случае задача немного усложняется, поскольку мы имеем две, размещенные рядом, трубки с противоположным направлением движения хладагента та соответственно абсолютно разными температурами на поверхности, которая контактирует с грунтом, на одинаковых глубинах. Нами было принято решение "разогнуть" трубку коллектора геотермального теплового насоса, заменив схему на рис. 1 эквивалентной схемой, показанной на рис. 2. На данной схеме U-образный коллектор вытянут в одну прямую трубу, а график под схемой изображает колебания температуры грунта при таком способе постановки задачи. Этот, симметричный относительно вертикальной оси, график температуры в дальнейшем будет использован для определения граничных условий при расчете температурного поля в грунте.

Целью данной работы является разработка универсальной математической модели теплового насоса, которая описывала бы стационарное распределение температуры в грунте та трубе коллектора для любых заданных условий, учитывая сезонное колебание температур в поверхностном шаре. Ниже приведены исходные данные, необходимые для такого расчета:

· Регион, где находится отапливаемый объект — за этими данными, как показано в [1], программа определяет среднегодовую температуру воздуха и максимальную амлитуду колебаний температуры наружного воздуха в течение года;

· Период (день года), для которого производится расчет температурных полей;

· Теплофизические свойства почвы: теплопроводность λ (Вт / м · К), плотность ρ (кг/м3) и теплоемкость Ср (кДж / кг · К);

· Теплофизические свойства рабочей жидкости: теплопроводность λl (Вт / м · К), плотность ρl (кг/м3), теплоемкость Срl (кДж / кг · К) и динамическая вязкость μ (Па · с);

· Геометрические характеристики грунтового теплообменника теплового насоса: глубина скважины L0 и радиус трубки R;

· Перепад давления рабочей жидкости в трубе Δp, определяющий скорость ее движения в теплообменнике;

· Разница температур ΔТ или температура рабочей жидкости на входе в грунтовый коллектор.

На процесс теплообмена в почве на больших глубинах, кроме собственно свойств рабочей жидкости и почвы, влияют много различных факторов. Неоднородность структуры почвы как в вертикальном, так и в радиальном направлениях, наличие подземных вод или карстовых полостей, заполненных воздухом, - лишь некоторые из них. Большинство из этих явлений просто невозможно учесть, поэтому важным при расчете температурных полей, как и при математическом моделировании любых других процессов в геотермальном тепловом насосе, является четкое описание принятых в модели упрощений и предположений. На основе этого в дальнейшем можно будет решать насколько правомерно применять результаты, полученные при моделировании, к процессам в реальном мире. Описанная ниже математическая модель базируется на следующих предположениях:

· Структура почвы однородна как по глубине, так и в радиальном направлении, а его свойства неизменны во времени и не зависят от температуры;

· Термическим сопротивлением стенки трубы почвенного коллектора игнорируется;

· Свойства рабочей жидкости, используемой в тепловом насосе, также не зависят от температуры;

· Считается, что тепловая взаимодействие между трубками в коллекторе отсутствует - теплообмен осуществляется только с почвой. 

 

Уравнение процесса

Согласно принятой схемы расчета теплового насоса (рис. 2), U-образный коллектор заменяется длинной трубой радиусом R, а почвенный массив вокруг коллектора теперь можно рассматривать как цилиндр большого радиуса с высотой L и с отверстием внутри радиусом R. Рассмотрим сначала распределение температур рабочей жидкости в объеме трубы.

Температурное поле внутри грунтового теплообменника описывается дифференциальным уравнением вида:

Все величины в выражении (4) уже были описаны выше.

Обратите внимание, что отчислять согласно схеме на рис. 2 след от самой низкой точки скважины, где принято. Для той части трубы, по которой рабочая жидкость опускается, значение принимаются со знаком «минус», то есть координата на поверхности на входе в трубу составлять, а на выходе. Очевидно, что безразмерная глубина изменяется в пределах от -1 до 1.

Решение дифференциального уравнения (1) возможно только после указания граничных условий. Граничные условия для рабочей жидкости состоят из двух частей, первая из которых - это значение начальной температуры жидкости на входе в грунтовой коллектор теплового насоса (предельная условие первого рода), а второй - условия сопряжения между рабочей жидкостью и почвой. В безразмерном виде предельную условие первого рода на входе в коллектор можно записать как:

Сформулировать граничные условия для решения уравнения (6) несколько сложнее. Эти условия включают заданные значения начальных температур на поверхности почвы, значения температур нетронутого грунта по всей глубине вдали от коллектора геотермального теплового насоса (на бесконечности), а также уже упомянутые условия сопряжения.

Температура на поверхности почвы, что соответствует торцевым поверхностям цилиндрического массива грунта, который рассматривается (рис. 2), равна Ts, или в безразмерном виде:

В последней формуле Xs - это глубина, выраженная в футах, а сама температура выражается в градусах по Фаренгейту. С учетом коэффициентов, которые переводят все величины в размерность системы СИ, формула (10) приобретает вид:

где x - глубина, м;

t - порядковый номер дня года;

t₀ - среднегодовая температура поверхности почвы, принимается равной среднегодовой температуре наружного воздуха для выбранного региона, º С;

А_S - годовая амплитуда колебаний температуры поверхности почвы, º С

а - температуропровиднисть грунта, м2 / с;

t₀ - фазовая константа, равная 171 дню.

Выражение (11) не учитывает постепенный рост температуры почвы с глубиной, поэтому мы решили добавить в уравнение еще один член, с целью обеспечить равномерное увеличение температуры ниже зоны сезонной изменчивости. Ниже приведена окончательная формула, которая и используется в программе для определения граничных условий (- величина, на которую повышается температура почвы каждые 100 м).

На основе выражения (12) системе NeoHeatingPro была введена процедура, которая позволяет моделировать температурное поле нетронутого грунта для выбранного региона, учитывая заданные свойства почвы. На графике (рис. 3) на оси абсцисс отложена температура, а в отрицательном направлении оси ординат - глубина. Разными цветами изображены кривые, отражающие зависимость между глубиной и температурой для каждого из месяцев года. Моделирование проводилось для объекта, который находится на широте Киева, и для таких свойств почвы: теплопроводность Вт / м · К, плотность кг/м3та теплоемкость кДж / кг · К.

Сопрягают оба дифференциальные уравнения условия сопряжения на границе «труба-грунт». Они включают равенство температур на границе с одной стороны (термическим сопротивлением стенки трубы пренебрегаем):

 

Решение задачи и представление результатов

Поскольку, изначально моделирование и оптимизацию работы грунтового коллектора тепловго насоса планировалось сделать частью программного комплекса NeoHeatingPro, то для решения системы дифференциальных уравнений в частных производных (1) и (6) было решено применить численные методы. Метод конечных разностей или метод сеток [6], который позволяет итерационно находить значения определенной величины в конкретной точке по значениям соседних точек (в нашем случае - температур), как нельзя лучше подходит для решения поставленной задачи.

Суть данного метода заключается в том, что объект, который рассматривается, заменяется ортогональной сеткой, узлы которой размещаются между собой с определенным шагом. Все производные в дифференциальных уравнениях, описывающих процесс в объекте, заменяются приближенными алгебраическими выражениями, которые позволяют рассчитать значения в узлах сетки. Причем значение в каждом последующем узле рассчитывается по уже известному значению в предыдущих.

Рассмотрим сначала трубку почвенного коллектора. Объектом в данном случае выступает рабочая жидкость, процессом является передача тепла путем теплопроводности (режим движения жидкости - ламинарный), а искомое значение в узлах стики - это температура рабочей жидкости. Сетка будет двухмерной, так как имеем только две координаты: радиус и глубину.

Перепишем уравнения (1) в виде:

После несложных алгебраических преобразований с (15) можно выразить температуру рабочей жидкости на і+1 шагу:

Преобразуя (17), нетрудно найти нужную нам температуру почвы на i+1 шагу:

             

Расчет в программе происходит следующим образом (рис. 6). Сначала инициализируются два массива: первый с размерностью элементов, соответствующий сетке для рабочей жидкости, второй - массив узлов в почве размерностью, где nгр - максимально возможное количество рядов сетки в радиальном направлении. Значение nгр должно быть как можно большим по нескольким причинам. Во-первых, чем больше nгр, тем больший массив грунта будет представлен на рассмотрение пользователю программы по завершению расчета. Во-вторых, необходимо, чтобы величина nгр гарантировала, что для любой глубины х значение температуры на бесконечности не будет достигнуто, иначе расчет нельзя считать правильным. Проблема заключается в том, что значение nгр значительно ограничено объемом оперативной памяти компьютера. Даже при не очень малом шаге по оси х, например, 4 мм, и при глубине скважины 100 м, получаем. Взяв такой же шаг в радиальном направлении и положив максимальный радиус равным 4 м, получим nгр = 1000. В результате количество элементов в массиве, который описывает температурное поле почвы, равная 50 миллионам! При этом необходимо минимум 250 Мб свободной оперативной памяти только для того, чтобы запустить расчет.

Еще одна проблема связана с тем, что температурные колебания в слоях почвы могут распространиться дальше, чем на взятые нами 4 м. Поэтому в программе узлы и-го шага представлены динамическим массивом (массивом без фиксированного размера). Если при достижении точки с координатами (и, nгр -1) рассчитана температура почвы не сравнится с, то расчет продолжится дальше в радиальном направлении, а динамический массив будет увеличено. На следующем и 1 шаге, после использования увеличен массив уничтожается, а для отображения результатов сохраняется фиксированная nгр количество его элементов. Такой подход дает возможность проводить моделирование даже на не мощных компьютерах.

Массив, описывающий температурное поле в жидкости инициализируется нулями, тогда как для массива узлов в почве сначала рассчитываются значения температуры нетронутого грунта на каждой и-й глубине (12), после чего по формуле (7) они переводятся в безразмерные величины и заполняют каждую строку массива. При этом учитываются особенности принятой схемы расчета (рис. 2). На первом шаге (i = 0) никаких расчетов не происходит. На втором шаге согласно формуле (21) рассчитывается значение температуры жидкости в точке (1, n-1) (рис. 6). По этой температуре определяется температура в грунте (1,0) по формуле (13). На третий шаг цикла в жидкости приходится расчет точки (2, n-2) по формуле (16) на основе значений, записанных в узлах (1, n-3), (1, n-2) и (1, n-1 . В то же время в почве определяется безразмерная температура в точке (2,1) по формуле (18) по узлам (1,0), (1,1), (1,2) и (0,1). Предельные точки рассчитываются так же, как и на предыдущем шаге. Расчет продолжается до тех пор, пока не будет достигнуто выхода из коллектора. По его завершению программа перекодирует значение безразмерных температур и длин в градусы и метры.

Таким образом, результатом работы системы моделирования есть огромный массив данных, который вмещает миллионы значений. Возникает вопрос, как представить такой объем информации? Для решения этой задачи было решено воспользоваться одним из методов научной визуализации, известным под названием цветного кодирования [7, ст.48]. Данный метод чем-то напоминает обозначение глубин и высот в картографии. В системе NeoHeatingPro создаются два цветных градиента (соответственно для жидкости и почвы), на которые накладывается температурная шкала с определенным диапазоном. Для рабочей жидкости этот диапазон можно принять 0 ... +10 º С; для почвы он зависит от выбранного периода года, однако для зимних и осенних месяцев можно брать -14 ... +14 º С. Значение узлов массива интерполируются в пределах соответствующего температурного диапазона, в результате чего они заменяются кодами цветов, подобранных из цветного градиента. Полученную карту кодов программа изображает в виде цветной диаграммы (рис. 7). На рис. 7 представлен результат работы программы для таких исходных данных:

· Регион расположения - г. Киев, период года - середина января;

· Глубина коллектора - 100 м, радиус трубки - 40 мм;

· Свойства рабочей жидкости: теплопроводность λl = 0.58 Вт / м · К, плотность ρl = 950 кг/м3, теплоемкость Срl = 3.15 кДж / кг · К и динамическая вязкость μ = 1.2 мПа · с;

· Температура на входе в коллектор 4 º С (на выходе получили примерно 6.8 º С);

· Свойства почвы те же, что были приведены выше.

 

Анализ полученных результатов

На базе описанной модели было получено несколько интересных результатов, некоторые из них приведены ниже.

1. Наихудший период для работы грунтового теплообменника - март (рис. 8), а не январь или февраль. Это объясняется тем, что в настоящее время температура поверхностного слоя (до 10 м) больше охлаждается за зиму, поэтому рабочая жидкость перед выходом на поверхность отдает часть тепла, собранного в земных недрах. На рис. 9 представлен график температуры в поверхностном слое для девственной почвы для марта месяца.

2. Увеличение глубины не всегда приводит к увеличению эффективности работы коллектора. Например, температура на выходе из теплообменника для земель с малой теплопроводностью для глубин 80 м и 120 м практически не отличается. В самые низкие точке коллектора для 120-метровой скважины температура, конечно, выше, однако при поднятии она успевает охладиться практически в ту же, что и в 80-метровом. Система NeoHeatingPro позволяет оптимизировать глубину скважины, что значительно уменьшает стоимость бурения, уменьшая цену теплонасосной системы.

3. Ощутимая зависимость значение разницы температур, на которую нагревается рабочая жидкость, от внешней температуры, то есть от региона расположения. Моделирование показало, что для Киева при различных условиях зимой рабочая жидкость нагревается на º С, для Стокгольма эта величина меньше почти на градус - º С, тогда как для Ялты может достигать 5 º С и выше. Это означает, что, несмотря на практически одинаковую температуру на глубине, значительное влияние на эффективность работы грунтового теплообменника геотермального теплового насоса имеет поверхностный слой, где есть ощутимыми сезонные колебания.

4. Увеличение теплопроводности почвы улучшает теплообмен с коллектором - и это очевидно. Однако моделирование дало и некоторые неожиданные результаты по изменению теплопроводности рабочей жидкости: для глубоких коллекторов к росту исходной температуры приводит не увеличение, а уменьшение теплопроводности жидкости. Это объясняется тем, что даже с меньшим λl благодаря большой глубине жидкость успевает согреться практически до температуры окружающей почвы. Однако при подъеме вверх низкая теплопроводность способствует тому, что рабочая жидкость с меньшей интенсивностью «впитывает» холод в поверхностных слоях. На рис. 10 показан результат моделирования для тех же исходных данных, что и на рис. 7, только теплопроводность рабочей жидкости уменьшена почти вдвое (0.3 Вт / м · К). Результат - на выходе температура равна 7.4 º С, что на полградуса выше, чем в предыдущем случае.

Однако необходимо понимать, что главным результатом проделанной работы является не просто методика расчета грунтового теплообменника теплового насоса и даже не точно просчитанный почвенный коллектор для каких-либо конкретных исходных условий, а именно гибкий инструмент для моделирования, реализованный в функционале программы NeoHeatingPro. Описанная выше методика и реализованные на ее основе программные процедуры позволяют быстро рассчитывать и визуализировать температурные поля в коллекторе и почве для любого региона, времени года, типа почвы и типа рабочей жидкости.

ЛИТЕРАТУРА

1. Кідрук М.І. Моделювання та оптимізація систем теплопостачання будівель з використанням відновних джерел енергії. Частина 1: Моделювання теплового режиму будинку. — Журнал «Нова тема», №4/2007. — с. 13–16.

2. Kavanaugh P.K. and Rafferty K. Ground-source Heat Pumps — Design of Geothermal Systems for Commercial and Institutional Buildings // Publishing of American Society of Heating, Refrigerating and Air-conditioning Engineers, Inc., Atlanta, GA, USA. — 1997. — 223 p.

3. Andrew Morison. Finite Difference Model of a Spiral Ground Heat Exchanger for Ground-source Heat Pumps // A thesis submitted to the Faculty of Graduate Studies and Research in partial fulfillment of the requirements for the degree of Master of Engineering. — Carleton University, Department of Mechanical and Aerospace Engineering, Ottawa, Ontario. — 1999. — 145 p.

4. Лыков А.В. Тепломассообмен. Справочник. Второе издание, переработанное и дополненное. – М.: Энергия, 1978. – 480 с.

5. RETScreen^®International. Ground-source Heat Pump Project Analysis: Chapter // RETScreen^®Engineering & Cases Textbook. – Ministry of Natural Sources of Canada, 2005. – 70 p.

6. Базвалов Н.С. Численне методы. — М.: Наука, 1973. – 631 с.

7. Дональд Херн, М. Паулин Бейкер. Компьютерная графика и стандарт OpenGL, 3-е изд. – М.: Издательский дом «Вильямс», 2005. – 1168 с., ил.

 

В этой статье речь идет о: моделирование работы теплового насоса, моделирование работы теплонасосной установки, грунтовый коллектор, тепловой насос, источник тепла теплового насоса, грунтовый теплообменник, работы грунтового теплообменника, источник тепла теплонасоса, моделирование грунтового теплообменника, моделирование теплового насоса, отбор грунтового тепла, моделирование коллектора теплового насоса, моделирование работы грунтового коллектора, работа грунтового коллектора, теплообмен грунтового коллектора, модель грунтового теплообменника, тепло теплового насоса, коллектор теплового насоса, грунтовый коллектор теплового насоса.

 

При использовании материалов  этого сайта, ссылка на www.progress21.com.ua  есть обязательной.